Question

12．已知圓C過(guò)點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（-2，2），且圓心C在x軸上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；
（i）若過(guò)點(diǎn)M的任意直線l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范圍；
（ii）若點(diǎn)R是圓C上的任意一點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)N使得|RN|=2|RM|，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心C（a，0），且$\sqrt{（a+2）^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}}$，解得a=-2，可得圓C的方程；
（2）（i）分類討論，直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x+1），代入（x+2）²+y²=4，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范圍；
（ii）存在N（2，0），滿足|RN|=2|RM|，利用距離公式即可證明．

解答 解：（1）∵圓C過(guò)點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（-2，2），且圓心C在x軸上，
∴設(shè)圓心C（a，0），且$\sqrt{（a+2）^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}}$，解得a=-2，
∴圓心C（-2，0），半徑r=$\sqrt{（-2）^{2}}$=2，
∴圓的方程為（x+2）²+y²=4．
（2）（i）直線l的斜率不存在時(shí)，P（-1，$\sqrt{3}$），Q（-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-2；
直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x+1），代入（x+2）²+y²=4，可得（k²+1）x²+（4+2k²）x+k²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）₁x₂+（k²+2）（x₁+x₂）+k²+4=-2-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，
∵k²≥0，
∴-4≤$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$≤-2；
（3）存在N（2，0），滿足|RN|=2|RM|．
設(shè)R（x₀，y₀），則（x₀+2）²+y₀²=4，
∴y₀²=-x₀²-2x₀，
∴|RN|²=（2-x₀）²+y₀²=4-8x₀，
|RM|²=（-1-x₀）²+y₀²=1-2x₀，
∴|RN|=2|RM|，
∴在x軸上存在定點(diǎn)N（2，0），使得|RN|=2|RM|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．