Question

11．若（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展開式中x^-4的系數(shù)為a_n，則$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$為（　　）

• A． $\frac{n-1}{n}$
• B． $\frac{2n-2}{n}$
• C． $\frac{1-n}{n}$
• D． $\frac{2-2n}{n}$

Answer 1

分析 根據(jù)通項(xiàng)公式求得展開式中x^-4的系數(shù)為a_n =${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），從而求得要求式子的值．

解答 解：（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N^*，n＞1）的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-1）^r•x^-2r，
故展開式中x^-4的系數(shù)為a_n =${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）]=2（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{2n-2}{n}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，屬于基礎(chǔ)題．