Question

20．四棱錐S-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2$\sqrt{2}$，SB=SC=AB=2，F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn)．
（1）求證：SD∥平面CFA；
（2）證明：SA⊥BC；
（3）求三棱錐A-SCF的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD交AC于E，連結(jié)EF，由三角形中位線定理能證明SD∥平面CFA．
（2）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO、SO，由已知條件推導(dǎo)出△ABC是等腰直角三角形，由此能證明SA⊥BC．
（3）由題意，AO⊥側(cè)面SBC，S_△SCF=$\frac{1}{2}×2×1$=1，AM=$\sqrt{2}$，利用體積公式可得結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)BD交AC于E，連結(jié)EF，
由于底面ABCD為平行四邊形，∴E是AD中點(diǎn)，
在△BSD中，F(xiàn)為SD中點(diǎn)，∴EF∥SD
又∵EF?面CFA，SD不包含于面CFA，
∴SD∥平面CFA．
（2）證明：取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，SO，∴SO⊥BC
∵∠ABC=45°，BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴OA⊥BC，
∴BC⊥平面AOS，∴SA⊥BC．
（3）解：由題意，AO⊥側(cè)面SBC，S_△SCF=$\frac{1}{2}×2×1$=1，AM=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐A-SCF的體積V=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行，垂直的判定定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，三棱錐的體積等知識．屬于中檔題．