Question

16．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生作為樣本，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求圖中實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，試估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生其中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)；
（Ⅲ）若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中頻率之和為1，能求出a．
（Ⅱ）平均分是頻率分布直方圖各個(gè)小矩形的面積×底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，由此利用頻率分布直方圖能求出平均分．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖，得數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為40×0.05=2，這兩人分別記為A，B，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90，100）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn)，如果這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40，50）或都在[90，100）內(nèi)，則這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10，由此利用列舉法能過(guò)河卒子同這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，得：
10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，
解得a=0.03．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖得到平均分：
$\overline{x}$=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖，得數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為40×0.05=2，這兩人分別記為A，B，
數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90，100）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn)，
若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100）兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，
則所有的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），（B，E），
（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15個(gè)，
如果這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40，50）或都在[90，100）內(nèi)，
則這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10，
記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”為事件M，
則事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共7個(gè)，
所以這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率P=$\frac{7}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率和概率的求法，二查平均分的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖和列舉法的合理運(yùn)用．