Question

15．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，-1），（0，1），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與BM的斜率的積是$-\frac{1}{4}$．
（1）設(shè)M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）若直線y=k（x-1）與該曲線有兩個交點(diǎn)P、Q，且以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求k的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），利用k_AM•k_BM=$-\frac{1}{4}$計算即得結(jié)論；
（2）通過聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理、|PQ|²=|0P|²+|OQ|²，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），
∵A（0，-1），B（0，1），
∴k_AM=$\frac{y+1}{x-0}$，k_BM=$\frac{y-1}{x-0}$，
∵直線AM的斜率與BM的斜率的積是$-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{y+1}{x-0}$•$\frac{y-1}{x-0}$=-$\frac{1}{4}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲線C的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（x≠0）$；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
∵以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴|PQ|²=|0P|²+|OQ|²，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k²•（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁•x₂-k²•（x₁+x₂）+k²
=$\frac{{{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}=0$
∴k=±2．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．