Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），ab=2$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設A為橢圓的左頂點，過橢圓的右焦點F的直線交橢圓于M，N兩點，直線AM，AN與直線x=4交于P，Q兩點．證明：以PQ為直徑的圓恒過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用離心率公式和橢圓的a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由對稱性，若定點存在，則定點在x軸上，設直線MN的方程為：x=ty+1，代入橢圓方程，運用韋達定理，再設T（m，0）在以PQ為直徑的圓上，則TP⊥TQ，即$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=0．運用向量的數量積的坐標表示，代入韋達定理，化簡整理，即可得到m=1或7，可得定點．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{ab=2\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，∴a²=4，b²=3．
所以，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．               
（Ⅱ）證明：由對稱性，若定點存在，則定點在x軸上，
設直線MN的方程為：x=ty+1，
代入橢圓方程得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y₁+y₂=$\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{t}^{2}+4}$，①
再設T（m，0）在以PQ為直徑的圓上，
則TP⊥TQ，即$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=0．
∵$\overrightarrow{TP}$=（4-m，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），$\overrightarrow{TQ}$=（4-m，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
∴（4-m）²+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=（4-m）²+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（t{y}_{1}+3）（t{y}_{2}+3）}$=（4-m）²+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3t（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$
代入①化簡可得（4-m）²-9=0，
解得m=1或m=7，
所以，以PQ為直徑的圓恒過定點（1，0）或（7，0）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯立直線方程，運用韋達定理，考查向量垂直的條件，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．