Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-cos²x，x∈R．
（1）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)向量關(guān)系求出結(jié)合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由于函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-cos²x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ$-\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ$-\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
∵x∈[0，π]，
∴當(dāng)k=0時(shí)，0≤x≤$\frac{π}{3}$，
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{5π}{6}$≤x≤π，
故函數(shù)的增區(qū)間為：[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，π]．
（2）根據(jù)題意，由于c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，
∴sin（2C$-\frac{π}{6}$）=1，
又-$\frac{π}{6}$＜2C$-\frac{π}{6}$＜2$π-\frac{π}{6}$，
∴當(dāng)2C$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，得C=$\frac{π}{3}$．
∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，
∴1×sinB-2×sinA=0，
即sinB=2sinA，
由正弦定理得：b=2a．
由余弦定理得：$（\sqrt{3}）^{2}={a}^{2}+（2a）^{2}-2a•2a•cos\frac{π}{3}$，
化簡得：（5a+3）（a-1）=0
∴a=1，b=2．
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及正弦定理余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，綜合考查學(xué)生運(yùn)算能力．