Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}+a}}$（a、b為常數(shù)），且f（1）=$\frac{1}{3}$，f（0）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的奇偶性，并證明；
（Ⅲ）對于任意的x∈[0，2]，f（x）（2^x+1）＜m•4^x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．運用奇函數(shù)的定義，即可得證；
（Ⅲ）f（x）（2^x+1）＜m•4^x恒成立，即為2^x-1＜m•4^x，運用參數(shù)分離和換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的值域，可得右邊的最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$f（1）=\frac{2+b}{2+a}=\frac{1}{3}$，$f（0）=\frac{1+b}{1+a}=0$，
解得a=1，b=-1，
所以$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$；
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
證明如下：f（x）的定義域為R，
∵$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；                           
（Ⅲ）∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，∴$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}•（{{2^x}+1}）＜m•{4^x}$，
∴2^x-1＜m•4^x
∴$m＞\frac{{{2^x}-1}}{4^x}={（\frac{1}{2}）^x}-{（\frac{1}{4}）^x}$=g（x），
故對于任意的x∈[0，2]，f（x）（2^x+1）＜m•4^x恒成立等價于m＞g（x）_max
令$t={（\frac{1}{2}）^x}$，則y=t-t²$（\frac{1}{4}＜t＜1）$，
則當$t=\frac{1}{2}$時${y_{max}}=\frac{1}{2}-{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{4}$，
故$m＞\frac{1}{4}$，
即m的取值范圍為$（\frac{1}{4}，+∞）$．

點評 本題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，抽象概括能力，考查化歸的思想．