Question

15．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)圖象可得T，由周期公式從而可求ω，由點（$\frac{π}{4}$，0）在函數(shù)圖象上，結(jié)合范圍0≤φ＜2π，即可解得φ的值，從而得解；
（Ⅱ）由2k$π+\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{5π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得3x+$\frac{5π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，2π]，從而可求f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)圖象可得：$\frac{3}{2}$T=（$\frac{5π}{4}-\frac{π}{4}$）=π，解得：T=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，從而可求ω=3，
由點（$\frac{π}{4}$，0）在函數(shù)圖象上，
所以：2sin（3×$\frac{π}{4}$+φ）=0，
由圖象可知：φ=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
由0≤φ＜2π，
從而可得：φ=$\frac{5π}{4}$．
故可得：f（x）=2sin（3x+$\frac{5π}{4}$）．
（Ⅱ）由于f（x）=2sin（3x+$\frac{5π}{4}$），
由2k$π+\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{5π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{4}$，$\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{12}$]，k∈Z，
（Ⅲ）由于f（x）=2sin（3x+$\frac{5π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴3x+$\frac{5π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，2π]，
可得：f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）∈[-2，0]．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．