Question

9．設(shè)f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值為m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a²+2b²+c²=m，求ab+bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用零點分區(qū)間，討論x的范圍，去絕對值，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值；
（Ⅱ）由a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²），運用重要不等式，可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x≤-1時，f（x）=3+x≤2；
當(dāng)-1＜x＜1時，f（x）=-1-3x＜2；
當(dāng)x≥1時，f（x）=-x-3≤-4．
故當(dāng)x=-1時，f（x）取得最大值m=2．
（Ⅱ）a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²）≥2ab+2bc=2（ab+bc），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，等號成立．
此時，ab+bc取得最大值$\frac{m}{2}$=1．

點評 本題考查絕對值不等式的解法和運用，主要考查分類討論的思想方法和重要不等式的解法，屬于中檔題．