Question

18．平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（不含端點(diǎn)），$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$．若|$\overrightarrow{AP}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，∠BAD=60°且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$=-3．則λ=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{CP}$用已知$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AD}$表示，代入計(jì)算即可．

解答 解：根據(jù)題意，可得$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AP}$，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AP}$=$-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AP}$=$（1-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD}$，
所以-3=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AP}•[（1-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD}]$=$（1-\frac{1}{λ}）{\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}$，
由于|$\overrightarrow{AP}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，∠BAD=60°，
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}$=$|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AD}|cos60°$=$2×1×\frac{1}{2}$=1，
從而-3=$（1-\frac{1}{λ}）|\overrightarrow{AP}{|}^{2}-1$=$4（1-\frac{1}{λ}）-1$，解得λ=$\frac{2}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量的加、減法運(yùn)算，屬于中檔題．