Question

20．如圖所示，已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{CA}$²=$\overrightarrow{OC}$²+$\overrightarrow{AB}$²，求證：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 利用向量的減法，化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{CA}$²，
∴$\overrightarrow{OA}$²+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）²=$\overrightarrow{OB}$²+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）²，
∴$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OC}$²-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{OC}$²-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OA}$²，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，
同理可證明$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用向量的減法是關(guān)鍵．