Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=p，a₂=p+1，a_n+2-2a_n+1+a_n=n-2（其中n∈N^*），b_n=$\frac{1}{{a}_{n+5}-{a}_{n+4}}$，則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和為$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，累加后求得a_n+1-a_n的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和．

解答 解：由a_n+2-2a_n+1+a_n=n-2，得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=n-2，
設(shè)c_n=a_n+1-a_n，于是c_n+1-c_n=n-2，
又c₁=a₂-a₁=p+1-p=1，
∴c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=（n-3）+（n-4）+（n-5）+…+（-1）+1=$\frac{（n-4）（n-1）}{2}$+1=$\frac{（n-2）（n-3）}{2}$，
∴c_n+4=a_n+5-a_n+4=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
則b_n=$\frac{1}{{a}_{n+5}-{a}_{n+4}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}=2（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和為$2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}）$=$2（\frac{1}{2}-\frac{1}{12}）=\frac{5}{6}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．