Question

1．已知M（1+cos2x，1），N（1，$\sqrt{3}$sin2x+a）（ x∈R，a為常數(shù)a∈R），且y=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的最大值為2，求a的值；
（3）在滿足（2）的條件下，說明f（x）的圖象可由y=2sinx的圖象如何變換得到？

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡可得解析式y(tǒng)=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
（3）由（2）得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．

解答 解：（1）y=f（x）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（1+cos2x，1）•（1，$\sqrt{3}$sin2x+a）
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1…（4分）
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x∈[0，π]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$ 即x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最大值a+3．
由已知得a+3=2，
∴a=-1 …（8分）
（3）由（2）得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．變換過程如下：
將y=2sinx圖象上所有點(diǎn)向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變即可得到：
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．