Question

13．設P為曲線C：y=x²+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線的傾斜角取值范圍是$[0，\frac{π}{4}]$，則點P縱坐標的取值范圍為$[2，\frac{9}{4}]$．

Answer 1

分析 切線的斜率k=tanθ∈[0，1]．設切點為P（x₀，y₀），k=y′|_x=x0=2x₀+2，上此可知點P橫坐標的取值范圍．

解答 解：∵切線的斜率k=tanθ∈[tan0，tan$\frac{π}{4}$]=[0，1]．
設切點為P（x₀，y₀），于是k=y′|_x=x0=2x₀+2，
∴x₀∈[-1，-$\frac{1}{2}$]
則y₀∈[$[2，\frac{9}{4}]$．
故答案為：$[2，\frac{9}{4}]$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，是中檔題．