Question

7．若方程$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a=0恰有唯一解，則實數a的取值范圍為（0，+∞）．

Answer 1

分析 由題意設f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a并求出f′（x），求出△的式子并根據△的符號進行分類討論，由導數的符號判斷出函數的單調性，求出函數的極值，列出f（x）存在唯一的零點的等價條件，求出a的范圍即可．

解答 解：由題意設f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，∴f′（x）=x²-2x+a，
△=4-4a=4（1-a），
①當a≥1時，△≤0，f′（x）≥0，
∴f（x）在R上是增函數，且f（0）=-a＜0，
∴f（x）存在唯一的零點，則方程$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a=0恰有唯一解；
②當a＜1時，△＞0，由x²-2x+a=0得，${x}_{1}=1-\sqrt{1-a}$、${x}_{2}=1+\sqrt{1-a}$，
當x＞$1+\sqrt{1-a}$或x＜$1-\sqrt{1-a}$時，f′（x）＞0；
當$1-\sqrt{1-a}$＜x＜$1+\sqrt{1-a}$時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）在（-∞，$1-\sqrt{1-a}$）、（$1+\sqrt{1-a}$，+∞）上單調遞增，
在（$1-\sqrt{1-a}$，$1+\sqrt{1-a}$）上單調遞減，
∴當x=$1-\sqrt{1-a}$時，f（x）取極大值f（$1-\sqrt{1-a}$）=$\frac{1}{3}（1-\sqrt{1-a}）^{3}-（1-\sqrt{1-a}）^{2}+a（1-\sqrt{1-a}）$-a
=$-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{1-a}-\frac{2}{3}a\sqrt{1-a}$=$\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}-1]$，
當x=$1+\sqrt{1-a}$時，f（x）取極小值f（$1+\sqrt{1-a}$）=$\frac{1}{3}{（1+\sqrt{1-a}）}^{3}-{（1+\sqrt{1-a}）}^{2}+a（1+\sqrt{1-a}）$-a
=$-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{1-a}+\frac{2}{3}a\sqrt{1-a}$=$-\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}+1]$，
∵f（x）存在唯一的零點，∴$\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}-1]＜0$或$-\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}+1]＞0$，
解得0＜a＜1，
綜上所述，實數a的取值范圍是（0，+∞），

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性、極值，利用函數的導數研究函數的零點問題，考查分類討論思想，轉化思想，以及化簡計算能力，屬于中檔題．