Question

12．向量$\vec a$，$\vec b$滿足$（\vec a-2\vec b）⊥（\vec a+\vec b）$，且|$\vec a|=4$，|$\vec b|=2$，則$\vec a$在$\vec b$方向上的投影為4．

Answer 1

分析 向量$\vec a$，$\vec b$滿足$（\vec a-2\vec b）⊥（\vec a+\vec b）$，可得$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）$•$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=0，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$．即可得出$\vec a$在$\vec b$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$．

解答 解：∵向量$\vec a$，$\vec b$滿足$（\vec a-2\vec b）⊥（\vec a+\vec b）$，
∴$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）$•$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4²-2×2²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=8．
∴$\vec a$在$\vec b$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{8}{2}$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的投影計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．