Question

15．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$
（1）求證：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)； 
（2）若a＞b＞1，試比較f（a）和f（b）的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)； 
（2）利用作差法即可比較大小．

解答 證明：（1）函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$的定義域為：x∈R，x≠0，關(guān)于原點對稱，
又$f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$
故函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．…（3分）
（2）f（a）-f（b）=a+$\frac{1}{a}$-b-$\frac{1}$=（a-b）+（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$）=a-b+$\frac{b-a}{ab}$=（a-b）（1-$\frac{1}{ab}$）=（a-b）$•\frac{ab-1}{ab}$，
∵a＞b＞1，∴a-b＞0，ab＞1，
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）．…（8分）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)值的大小比較，利用作差法是解決本題的關(guān)鍵．