Question

16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足bcosC+ccosB=2acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求a²+c²的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得sin（B+C）=2sinAcosB=sinA，可求cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B范圍即可得解；
（2）由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，由不等式ac≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)）即可解得a²+c²的最大值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）由bcosC+ccosB=2acosB及正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即有：sin（B+C）=2sinAcosB=sinA，
由于sinA≠0，兩邊同時(shí)除以sinA，可得2cosB=1，
所以，cosB=$\frac{1}{2}$，
可得：B=$\frac{π}{3}$…5分
（2）由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，
∵ac≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)）
∴3=a²+c²-ac$≥{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，
∴a²+c²≤6，
∴a²+c²的最大值為6…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．