Question

18．設(shè)正項數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n=a_n²+a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{n+1}{{{{（n+2）}^2}a_n^2}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：對于任意n∈N^*，都有T_n＜$\frac{5}{16}$．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式可得：$a_n^2-a_{n-1}^2-（{a_n}+{a_{n-1}}）=0$，因式分解即可得出；
（II）（Ⅱ）證明：由于a_n=n，可得${b_n}=\frac{n+1}{{{{（n+2）}^2}n_{\;}^2}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{{n_{\;}^2}}-\frac{1}{{（n+2）_{\;}^2}}）$，利用“裂項求和”、“放縮法”即可得出．

解答 （I）解：當(dāng)n=1時，$2{a_1}=a_{{1^{\;}}}^2+{a_1}$，即a₁=1，
當(dāng)n≥2時，$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$與$2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+{a_{n-1}}$相減
得：$2{a_n}=a_n^2+{a_n}-（a_{n-1}^2+{a_{n-1}}）$，即$a_n^2-a_{n-1}^2-（{a_n}+{a_{n-1}}）=0$，
得：a_n+a_n-1=0或者a_n-a_n-1=1，
由a_n＞0則a_n-a_n-1=1，
即數(shù)列{a_n}是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
綜上，數(shù)列{a_n}的通項a_n=n．
（Ⅱ）證明：由于a_n=n，
則${b_n}=\frac{n+1}{{{{（n+2）}^2}n_{\;}^2}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{{n_{\;}^2}}-\frac{1}{{（n+2）_{\;}^2}}）$，${T_n}=\frac{1}{4}[{1-\frac{1}{{3_{\;}^2}}+\frac{1}{{2_{\;}^2}}-\frac{1}{{4_{\;}^2}}+\frac{1}{{3_{\;}^2}}-\frac{1}{{5_{\;}^2}}+---+\frac{1}{{（n-1）_{\;}^2}}-\frac{1}{{（n+1）_{\;}^2}}+\frac{1}{{n_{\;}^2}}-\frac{1}{{（n+2）_{\;}^2}}}]$=$\frac{1}{4}[{1+\frac{1}{{2_{\;}^2}}-\frac{1}{{（n+1）_{\;}^2}}-\frac{1}{{（n+2）_{\;}^2}}}]$  
＜$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{{2_{\;}^2}}）=\frac{5}{16}$．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．