Question

19．設(shè)a，b∈R，求證：a²+b²+$\frac{7}{4}$＞ab+2a+$\frac{2}$．

Answer 1

分析 通過變形可知（a²+b²+$\frac{7}{4}$）-（ab+2a+$\frac{2}$）=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+$\frac{7}{2}$-2ab-4a-b）=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-2）²+（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$]，數(shù)形結(jié)合即得結(jié)論．

解答 證明：（a²+b²+$\frac{7}{4}$）-（ab+2a+$\frac{2}$）
=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+$\frac{7}{2}$-2ab-4a-b）
=$\frac{1}{2}$[（a²-2ab+b²）+（a²-4a+4）+（$^{2}-b+\frac{1}{4}$）-$\frac{3}{4}$]
=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-2）²+（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$]，
而（a-b）²+（a-2）²+（b-$\frac{1}{2}$）²表示點P（2，$\frac{1}{2}$）到直線l：y=x的距離，
利用點到直線的距離公式可知d=$\frac{2-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，
∵$\frac{3}{2\sqrt{2}}$＞$\frac{3}{4}$，
∴（a²+b²+$\frac{7}{4}$）-（ab+2a+$\frac{2}$）＞0，
∴a²+b²+$\frac{7}{4}$＞ab+2a+$\frac{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．