Question

4．已知函數(shù)f（x）=1og₂²x+alog${\;}_{\frac{1}{4}}$（4x），x∈[1，4]，當(dāng)a=1時，求f（x）的最值；若f（x）的最小值為3，求a的值．

Answer 1

分析 設(shè)log₂x=t（0≤t≤2），函數(shù)可化為1og₂²x-alog₄（4x）=t²-$\frac{1}{2}$at-a，求出對稱軸，討論與區(qū)間[0，2]的關(guān)系，求得最小值，再由a=1，以及最小值為3，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)log₂x=t（0≤t≤2），
則y=1og₂²x+alog${\;}_{\frac{1}{4}}$（4x）
=1og₂²x-alog₄（4x）=t²-$\frac{1}{2}$at-a
=（t-$\frac{1}{4}$a）²-a-$\frac{{a}^{2}}{16}$，
當(dāng)$\frac{a}{4}$≥2即a≥8時，區(qū)間[0，2]為減區(qū)間，
即有t=2時，取得最小值，且為4-2a；
當(dāng)$\frac{a}{4}$≤0即a≤0時，區(qū)間[0，2]為增區(qū)間，
即有t=0時，取得最小值，且為-a；
當(dāng)0＜$\frac{a}{4}$＜2即0＜a＜8時，t=$\frac{a}{4}$時，取得最小值，且為-a-$\frac{{a}^{2}}{16}$．
即有f（x）的最小值為g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-a，a≤0}\\{-a-\frac{{a}^{2}}{16}，0＜a＜8}\\{4-2a，a≥8}\end{array}\right.$．
當(dāng)a=1時，f（x）的最小值為g（a）=-1-$\frac{1}{16}$=-$\frac{17}{16}$；
若最小值為3，即g（a）=3，
由-a=3，解得a=-3；
-a-$\frac{{a}^{2}}{16}$=3，解得a=-4或-12，均小于0；
4-2a=3，解得a=$\frac{1}{2}$＜8．
綜上可得a=-3．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．