Question

1．F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，過F₂的直線交橢圓于P，Q兩點，PF₁⊥PQ，且PF₁=PQ，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 設|PF₁|=t，則|PQ|=t，|F₁Q|=$\sqrt{2}$t，根據橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a，進而得|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，求得|PF₂|關于t的表達式，進而利用韋達定理可知[（4-2$\sqrt{2}$）a]²+[（2$\sqrt{2}$-2）a]²=（2c）²求得a和c的關系．

解答 解：設|PF₁|=t，則|PQ|=t，|F₁Q|=$\sqrt{2}$t，由橢圓定義有：|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a
∴|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，
化簡得（$\sqrt{2}$+2）t=4a，t=（4-2$\sqrt{2}$）a
∴|PF₂|=2a-t=（2$\sqrt{2}$-2）a
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2$\sqrt{2}$）a]²+[（2$\sqrt{2}$-2）a]²=（2c）²
∴（$\frac{c}{a}$）²=9-6$\sqrt{2}$
∴e=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質，考查了學生對橢圓定義的理解和運用．