Question

8．在數(shù)列{a_n}中，已知對任意n∈N^*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²=（　�。�

• A． （3¹⁰-1）²
• B． $\frac{{{9^{10}}-1}}{2}$
• C． 9¹⁰-1
• D． $\frac{{{3^{10}}-1}}{4}$

Answer 1

分析 設S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，n∈N^*．利用遞推關(guān)系可得：a_n=2×3^n-1．再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：設S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，n∈N^*．
則n=1時，a₁=2；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
當n=1時，上式也成立，
∴a_n=2×3^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4×3^2n-2=4×9^n-1，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等比數(shù)列，首項為4，公比為9．
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²=$\frac{4（{9}^{10}-1）}{9-1}$
=$\frac{{9}^{10}-1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．