Question

17．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A的直徑均位于區(qū)間[110，118]內(nèi)（單位：mm）．若生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的直徑位于區(qū)間[110，112），[112，114），[114，116），[116，118]內(nèi)該廠可獲利分別為10，30，20，10（單位：元），現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品A中隨機(jī)抽取200件測(cè)量它們的直徑，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求a的值，并估計(jì)該廠生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤(rùn)；
（2）現(xiàn)用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間[112，116）內(nèi)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣
本，從樣本中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，求兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間[114，116）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能求出a和該廠生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤(rùn)．
（2）由頻率分布直方圖得應(yīng)從直徑位于區(qū)間[112，114）的產(chǎn)品數(shù)中抽取2件，從直徑位于區(qū)間[114，116）的產(chǎn)品中抽取3件，由此利用列舉法能求出兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間[114，116）內(nèi)的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得：
2（0.050+0.150+a+0.075）=1，
解得a=0.225．
直徑位于區(qū)間[110，112）的頻數(shù)為200×2×0.050=20，
位于區(qū)間[112，114）的頻數(shù)為200×2×0.150=60，
位于區(qū)間[114，116）的頻數(shù)為200×2×0.225=90，
位于區(qū)間[116，118）的頻數(shù)為200×2×0.075=30，
∴該廠生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為：
$\frac{10×20+30×60+20×90+10×30}{200}$=20.5（元）．
（2）由頻率分布直方圖得：
直徑位于區(qū)間[112，114）和[114，116）的頻率之比為：2：3，
∴應(yīng)從直徑位于區(qū)間[112，114）的產(chǎn)品數(shù)中抽取2件，記為A，B，
從直徑位于區(qū)間[114，116）的產(chǎn)品中抽取3件，記為a，b，c，
從中任取兩件，所有可能的取法有：
（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c，），（b，c），共10種，
其中兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間[114，116）內(nèi)的取法有7種，
∴兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間[114，116）內(nèi)的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意列舉法的合理運(yùn)用．