Question

2．若對于一切實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=3，求f（-3）的值．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令x=y=0即可得到結論．
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，結合抽象函數(shù)，證明f（x）為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質結合抽象函數(shù)的關系進行遞推即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）∵f（1）=3，
∴f（2）=f（1）+f（1）=3+3=6，
f（3）=f（1）+f（2）=3+6=9，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-3）=-f（3）=-9．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法結合函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關鍵．