Question

14．已知：x＞y＞0，且xy=1，求證：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$≥2$\sqrt{2}$，并且求符號成立的條件．

Answer 1

分析 利用x²+y²=（x-y）²+2xy化簡可知$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$=（x-y）+$\frac{2}{x-y}$，通過基本不等式即得結(jié)論，利用當(dāng)且僅當(dāng)x-y=$\frac{2}{x-y}$即x-y=$\sqrt{2}$時取等號，解關(guān)于y的方程$\frac{1}{y}$-y=$\sqrt{2}$，計算即得結(jié)論．

解答 證明：依題意，$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+2xy}{x-y}$
=$\frac{（x-y）^{2}+2}{x-y}$
=（x-y）+$\frac{2}{x-y}$
≥2$\sqrt{（x-y）•\frac{2}{x-y}}$
=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x-y=$\frac{2}{x-y}$即x-y=$\sqrt{2}$時取等號，
又∵x=$\frac{1}{y}$，x＞y＞0，
∴$\frac{1}{y}$-y=$\sqrt{2}$，即y²+$\sqrt{2}y$-1=0，
解得y=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{2+4}}{2}$=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或y=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$（舍），
∴當(dāng)x=$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$時取等號．

點評 本題考查不等式的證明，涉及基本不等式、一元二次方程等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．