Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和S_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)T_n=2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）2ⁿa_n=（2n+1）•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=2n+1．
（2）2ⁿa_n=（2n+1）•2ⁿ．
∴T_n=2a₁+2²a₂+…+2ⁿa_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ．
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=2+2²+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n+1}-1）}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．