Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1，（a，b∈R）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是（$\frac{1}{3}$，0），（$\frac{1}{2}$，0）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若二次方程f（x）-m=0有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+k在區(qū)間[0，1]內(nèi)有最大值為3，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二次方程的韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到a，b的值；
（2）由二次方程有不同實(shí)根的條件：判別式大于0，解不等式即可得到m的范圍；
（3）運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，注意對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最大值，求得k的值．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$是方程ax²+bx+1=0的兩根，
即有$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{a}$，$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{a}$，
解得a=6，b=-5；
（2）由題意可得6x²-5x+1-m=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，
即有判別式△＞0，
即為25-24（1-m）＞0，
解得m＞-$\frac{1}{24}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{1}{24}$，+∞）；
（3）由題意可得，函數(shù)g（x）=6x²-5x+1+k在區(qū)間[0，1]內(nèi)有最大值為3，
由對(duì)稱軸x=$\frac{5}{12}$∈[0，1]，g（$\frac{5}{12}$）取得最小值，
g（1）取得最大值，且有6-5+1+k=3，
解得k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查二次方程的實(shí)根的分布和韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．