Question

2．已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n≠1，（a_n+1-a_n）•g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）求證：a_n+1=$\frac{3}{4}$a_n+$\frac{1}{4}$；
（2）求{a_n}的通項式；
（3）若b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求{b_n}的最大項和最小項．

Answer 1

分析 （1）通過代入、化簡可知4a_n+1-3a_n-1=0，變形即得結(jié)論；
（2）通過變形可知數(shù)列{a_n-1}是以1為首項、$\frac{3}{4}$為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（3）通過計算、配方可知b_n=3[$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$-$\frac{2}{3}$]²-$\frac{4}{3}$，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
∴（4a_n+1-3a_n-1）（a_n-1）=0，
又∵a_n≠1，
∴4a_n+1-3a_n-1=0，
即a_n+1=$\frac{3}{4}$a_n+$\frac{1}{4}$；
（2）解：∵a_n+1=$\frac{3}{4}$a_n+$\frac{1}{4}$，
∴a_n+1-1=$\frac{3}{4}$（a_n-1），
又∵a₁-1=2-1=1，
∴數(shù)列{a_n-1}是以1為首項、$\frac{3}{4}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$，
∴a_n=1+$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$；
（3）解：∵a_n=1+$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$，
∴f（a_n）=$（\frac{3}{4}）^{2n-2}$，g（a_n+1）=4•$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$，
∴b_n=3f（a_n）-g（a_n+1）
=3•$（\frac{3}{4}）^{2n-2}$-4•$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$
=3[$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$-$\frac{2}{3}$]²-$\frac{4}{3}$，
∵$\underset{lim}{n→∞}$$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$b_n=0，
令$（{\frac{3}{4}）}^{n-1}$=$\frac{2}{3}$，解得：n=1+$\frac{lg\frac{2}{3}}{lg\frac{4}{3}}$=$\frac{3lg2-2lg3}{2lg2-lg3}$≈2.4，
∵b₂=-$\frac{21}{16}$，b₃=-$\frac{189}{256}$，
∴{b_n}的最小項為b₃=-$\frac{189}{256}$，無最大項．

點評 本題是一道關(guān)于函數(shù)與數(shù)列的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．