Question

11．已知x，y，z都是正數(shù)，則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{2xy+yz}$的最小值為$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)a、b＞0，則$\frac{a}{2}$z²+$\frac{1}{2a}$y²≥yz且by²+$\frac{1}$x²≥2xy，兩式相加并整理得$\frac{1}$x²+（b+$\frac{1}{2a}$）y²+$\frac{a}{2}$z²≥2xy+yz（1）．
令$\frac{1}$=b+$\frac{1}{2a}$=$\frac{a}{2}$，即b=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，代回（1）式，即$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x²+y²+z²）≥2xy+yz，可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)a、b＞0，則$\frac{a}{2}$z²+$\frac{1}{2a}$y²≥yz且by²+$\frac{1}$x²≥2xy
故兩式相加并整理得$\frac{1}$x²+（b+$\frac{1}{2a}$）y²+$\frac{a}{2}$z²≥2xy+yz（1）．
令$\frac{1}$=b+$\frac{1}{2a}$=$\frac{a}{2}$，即b=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，代回（1）式，
即$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x²+y²+z²）≥2xy+yz，
即$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{2xy+yz}$≥$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{2xy+yz}$的最小值為$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查基本不等式在求最值中的運用，考查構(gòu)造法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．