Question

17．已知函數(shù)f（x）=a（1-2|x-$\frac{1}{2}$|），a為實(shí)數(shù)且a＞0．若x滿足f（f（x））=x，且（f（x）≠x，則稱x為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)，求f（x）的二階周期點(diǎn)．

Answer 1

分析 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{2}}\\{4{a}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤\frac{1}{2}}\\{1-x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{4a}}\\{2a-4{a}^{2}x，\frac{1}{4a}＜x≤\frac{1}{2}}\\{2a（1-2a）+4{a}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4a-1}{4a}}\\{4{a}^{2}-4{a}^{2}x，x＞\frac{4a-1}{4a}}\end{array}\right.$；
從而分別討論是否存在二階周期點(diǎn)即可．

解答 解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{2}}\\{4{a}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故f（f（x））=x只有一個(gè)解x=0，
又f（0）=0，故0不是二階周期點(diǎn)，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤\frac{1}{2}}\\{1-x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（f（x））=x有解集{x|x$≤\frac{1}{2}$}，
故此集合中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn)，
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}x，x≤\frac{1}{4a}}\\{2a-4{a}^{2}x，\frac{1}{4a}＜x≤\frac{1}{2}}\\{2a（1-2a）+4{a}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4a-1}{4a}}\\{4{a}^{2}-4{a}^{2}x，x＞\frac{4a-1}{4a}}\end{array}\right.$，
∴f（f（x））=x有四個(gè)解：0，$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，$\frac{2a}{1+2a}$，$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$；
由f（0）=0，f（$\frac{2a}{1+2a}$）=$\frac{2a}{1+2a}$，f（$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$）≠$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，f（$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$）≠$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$．
故只有$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$是f（x）的二階周期點(diǎn)，
故當(dāng)0＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，沒有二階周期點(diǎn)，
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，只有$\frac{2a}{1+4{a}^{2}}$，$\frac{4{a}^{2}}{1+4{a}^{2}}$是f（x）的二階周期點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受與應(yīng)用能力，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．