Question

18．圓柱形金屬飲料罐的容積為16πcm³，它的高是4cm，底面半徑是2cm時(shí)可使所用材料最省．

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的底面半徑r，高h(yuǎn)容積為v，則v=πr²h，h=$\frac{v}{π{r}^{2}}$，要求用料最省即圓柱的表面積最小，由題意可得S=2πr²+2πrh，配湊基本不等式的形式，從而求最小值，從而可求高與底面半徑之比，再由體積，即可得到所求．

解答 解：設(shè)圓柱的底面半徑r，高h(yuǎn)，容積為v，
則v=πr²h，即有h=$\frac{v}{π{r}^{2}}$，
用料為S=2πr²+2πrh=2π（r²+$\frac{v}{πr}$）
=2π（r²+$\frac{v}{2πr}$+$\frac{v}{2πr}$）≥2π•3$\root{3}{{r}^{2}•\frac{v}{2πr}•\frac{v}{2πr}}$
=6π•$\root{3}{\frac{{v}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)r²=$\frac{v}{2πr}$，即r=$\root{3}{\frac{v}{2π}}$時(shí)S最小即用料最�。�
此時(shí)h=$\frac{v}{π{r}^{2}}$=$\root{3}{\frac{4v}{π}}$，
∴$\frac{h}{r}$=2，
又由16π=πr²h，解得h=4，r=2．
故答案為：4，2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，利用基本不等式的關(guān)鍵是要符合其形式，并且要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件．