Question

3．曲線x²+y²=6與曲線y=ax²+1交點(diǎn)處的切線互相垂直，則正數(shù)a的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出交點(diǎn)，求得切點(diǎn)處的切線的斜率，由兩條切線互相垂直：斜率之積等于-1，得到方程，結(jié)合切點(diǎn)在兩曲線上，滿足曲線方程，解方程組，即可解出a的值．

解答 解：圓x²+y²=6與拋物線y=ax²+1恒有兩個(gè)交點(diǎn)，
由對(duì)稱性，設(shè)交點(diǎn)為P（m，n），Q（-m，n），（m＞0），
過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線的斜率為k₁=-$\frac{m}{n}$，
由y=ax²+1的導(dǎo)數(shù)為y′=2ax，
可得在P處的切線的斜率為k₂=2am，
由交點(diǎn)處的切線互相垂直可得，
2am•（-$\frac{m}{n}$）=-1，
又m²+n²=6，n=am²+1．
解得a=$\frac{1}{2}$，m=$\sqrt{2}$，n=2．
故答案為：$\frac{1}{2}$..

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，屬于中檔題．