Question

8．在函數(shù)f（x）=alnx-（x-1）²的圖象上，橫坐標在區(qū)間（1，2）內(nèi)變化的點處的切線斜率均大于1，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． [6，+∞）
• D． （6，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得$\frac{a}{x}$-2（x-1）＞1對x∈（1，2）恒成立．即有a＞x（2x-1）對x∈（1，2）恒成立．令f（x）=2x²-x，運用二次函數(shù)的值域求法，可得f（x）在（1，2）的值域，即可得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=alnx-（x-1）²的導數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$-2（x-1），
由橫坐標在區(qū)間（1，2）內(nèi)變化的點處的切線斜率均大于1，
可得$\frac{a}{x}$-2（x-1）＞1對x∈（1，2）恒成立．
即有a＞x（2x-1）對x∈（1，2）恒成立．
令f（x）=2x²-x，對稱軸x=$\frac{1}{4}$，
區(qū)間（1，2）為增區(qū)間，即有1＜f（x）＜6．
則有a≥6．
故選：C．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，主要考查導數(shù)的幾何意義，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或范圍，屬于中檔題．