Question

8．求函數(shù)y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 設x=$\sqrt{2}$sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），則y=$\sqrt{2}$sinα+$\sqrt{2}$cosα=2sin（α+$\frac{π}{4}$），即可求函數(shù)y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值與最小值．

解答 解：設x=$\sqrt{2}$sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），則y=$\sqrt{2}$sinα+$\sqrt{2}$cosα=2sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴函數(shù)y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值是2，最小值為-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查求函數(shù)y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值與最小值，考查三角函數(shù)知識，正確換元轉化是關鍵．