Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$，當x＞1時的值域是（0，+∞）．

Answer 1

分析 求導數(shù)f′（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x-1}{（2x+1）^{2}}$，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可以判斷2x²+2x-1＞0，從而得出函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而f（x）＞f（1），這便求出了原函數(shù)的值域．

解答 解：$f′（x）=\frac{2{x}^{2}+2x-1}{（2x+1）^{2}}$；
設(shè)g（x）=2x²+2x-1，g（x）對稱軸為x=$-\frac{1}{2}$，∴在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴g（x）＞g（1）=3＞0；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）＞f（1）=0；
∴函數(shù)f（x）的值域為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域，要正確求導．