Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+1有3個零點，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{\root{3}{2}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x³-3ax+1有三個不同的零點可知函數(shù)f（x）有兩個極值點，且極小值小于0，極大值大于0；利用導數(shù)求函數(shù)的極值點即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=x³-3ax+1有三個不同的零點，
則函數(shù)f（x）有兩個極值點，極小值小于0，極大值大于0；
由f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當a≤0時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在定義域內為增函數(shù)，不合題意；
當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=$±\sqrt{a}$．
又∵x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）時，f′（x）＞0，
x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）時，f′（x）＜0，
x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值f（$\sqrt{a}$）=$-2a\sqrt{a}+1$和極大值f（-$\sqrt{a}$）=$2a\sqrt{a}+1$．
∵函數(shù)f（x）=x³-3ax+1有三個不同的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a\sqrt{a}+1＜0}\\{2a\sqrt{a}+1＞0}\end{array}\right.$，
解得，a$＞\frac{\root{3}{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的判定方法，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調性，要使函數(shù)有三個零點，只要保證函數(shù)的極大值大于零和極小值小于零，是解題的關鍵，屬中檔題．