Question

12．在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ） 請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角F-BE-A的正弦值．

Answer 1

分析 以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，使得x軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過點A和點E，則各點的坐標為D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，0，1），C$（1，\sqrt{3}，0）$．
（I）點F應是線段CE的中點．設F是線段CE的中點，則點F的坐標為$F（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$，$\overrightarrow{BF}$=$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，可得$\overrightarrow{BF}$∥與平面xoy平行，即可證明．
（II） 設平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，而平面AEB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$，設二面角F-BE-A的平面角為θ，則sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$．

解答 解：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，使得x軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過點A和點E，則各點的坐標為D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，0，1），C$（1，\sqrt{3}，0）$．
（I）點F應是線段CE的中點，下面證明：
設F是線段CE的中點，則點F的坐標為$F（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$，∴$\overrightarrow{BF}$=$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{BF}$∥與平面xoy平行，
又BF?平面ACD，
∴BF∥平面ACD．
（II） 設平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{CB}$=$（1，-\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{CE}$=$（-1，-\sqrt{3}，2）$．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+z=0}\\{-x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，
不妨設y=$\sqrt{3}$，解得x=1，z=2，即$\overrightarrow{n}$=$（1，\sqrt{3}，2）$，
而平面AEB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
設二面角F-BE-A的平面角為θ，則sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴所求角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查了線面平行與垂直的判定與性質定理，考查了通過建立空間直角坐標系利用線面垂直的性質定理、向量垂直與數(shù)量積的關系及平面的法向量的夾角求出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力．