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4．已知a1=1，an+1=an-3an+1an，證明：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列．

分析 將關(guān)系式“an+1=an-3an+1an”兩邊同除以an+1an，化簡整理可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=3，再由等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論．

解答 證明：由題意得，an+1=an-3an+1an，
兩邊同除以an+1an可得，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-3，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=3，又a1=1，
所以數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3為公差、1為首項的等差數(shù)列．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明方法：定義法，以及數(shù)列遞推公式的化簡，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）•ex定義域為[-2，t]（t＞-2）．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）證明：對于任意的t＞-2，總存在x0∈（-2，t），滿足$\frac{{f'（{x_0}）}}{{{e^{x_0}}}}$=$\frac{2}{3}$（t-1）2，并確定這樣的x0的個數(shù)．

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15．已知三棱柱ABC=A1B1C1的側(cè)棱BB1⊥底面ABC，其側(cè)視圖與俯視圖如圖所示，AB=BC且AB⊥BC，M，N分別是A1B，A1C1的中點．
（1）求證：MN∥平面BCC1B1；
（2）求三棱錐B-A1B1N的體積．

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12．在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ） 請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角F-BE-A的正弦值．

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19．求函數(shù)f（x）=ex．（x≤1）的切線與坐標(biāo)軸圍城的三角形面積的最大值．

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9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直線A1B與平面BB1C1C所成角的大小為arctan$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．求三棱錐C1-A1BC的體積．

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16．如圖，在五面體P-ABCD中，CB⊥平面ABP，BC∥AD，AD=2BC=2，且BA=BP=2，BA⊥BP．
（1）點E為棱PD的中點，點F是平面APC上的一點，求直線PD與平面APC所成角的正弦值；
（2）求平面PAD與平面PBD所成的銳二面角的余弦值．

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13．如圖，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=$\sqrt{6}$，AB⊥平面BCD，E、F分別是AC、AD的中點．
（1）求證：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求四棱錐B-CDFE的體積V；
（3）求平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3-an-（$\frac{1}{2}$）n-1（n∈N*）．
（1）令bn=2nan，求證：{bn}是等差數(shù)列；
（2）令cn=（$\frac{2n-1}{n+1}$）an，求數(shù)列{cn}的前8項和T8．

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