Question

19．如圖，過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且∠CFA=135°，則tan∠ACB=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線l的斜率k=1，設(shè)出A的坐標(biāo)，代入拋物線y²=2px，求出A的坐標(biāo)，可求tan∠ACF，同理可得tan∠BCF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再利用二倍角的正切公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵直線l的斜率k=l，
∴可設(shè)A（$\frac{p}{2}$+y，y），代入拋物線y²=2px，
可得y²=2p（$\frac{p}{2}$+y），
∴y=p+$\sqrt{2}$p，
∴tan∠ACF=$\frac{y}{p+y}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）p}{（2+\sqrt{2}）p}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
同理tan∠BCF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ACB=tan（2∠ACF）=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查二倍角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．