Question

8．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：
①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；
②f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“倍值區(qū)間“．
若函數(shù)g（x）=4-me^-x存在“倍值區(qū)間“，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2e）．

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=4-me^-x存在“倍值區(qū)間”，則函數(shù)g（x）=4-me^-x為增函數(shù)，故m＞0，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)y=（4-2x）e^x，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最大值，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)g（x）=4-me^-x存在“倍值區(qū)間”，
則函數(shù)g（x）=4-me^-x為增函數(shù)，
故m＞0，
且方程2x=4-me^-x有兩個(gè)不等的根，
即m=（4-2x）e^x有兩個(gè)不等的根，
令y=（4-2x）e^x，則y′=（2-2x）e^x，
令y′=0，則x=1，
當(dāng)x＜1時(shí)，y′＞0，y=（4-2x）e^x為增函數(shù)；
當(dāng)x＜1時(shí)，y′＜0，y=（4-2x）e^x為減函數(shù)；
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=（4-2x）e^x取最大值2e，
則m＜2e，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（0，2e），
故答案為：（0，2e）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受能力及應(yīng)用能力，屬于中檔題．