Question

3．在棱長都相等的四面體ABCD中，E、F分別是CD、BC的中點，則異面直線AE、DF所成角的余弦值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 畫出四面體ABCD，并設(shè)BC=4，取CF的中點為M，則∠AEM或其補角便是異面直線AE、DF所成角，這時候可以求出CM，CE，ME，而由余弦定理可以求出AM，從而在△AEM中由余弦定理即可求出cos∠AEM，這便得到異面直線AE、DF所成角的余弦值．

解答 解：如圖，
設(shè)BC=4，取CF中點M，連接AM，ME；
∵E是CD中點；
∴ME∥DF；
∴∠AEM或其補角便是異面直線AE，DF所成角；
則：$DF=2\sqrt{3}$，$ME=\sqrt{3}$，$AE=2\sqrt{3}$，CE=2，CM=1；
∴在△ACM中，由余弦定理得：AM²=CA²+CM²-2CA•CM•cos60°=16+1-4=13；
∴在△AME中，由余弦定理得：cos∠AEM=$\frac{M{E}^{2}+A{E}^{2}-A{M}^{2}}{2ME•AE}=\frac{3+12-13}{2\sqrt{3}•2\sqrt{3}}=\frac{1}{6}$；
∴異面直線AE、DF所成角的余弦值是$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 考查異面直線所成角的概念及其求法，清楚異面直線所成角的范圍，等邊三角形的中線也是高線，直角三角形邊角的關(guān)系，以及余弦定理的應(yīng)用．