Question

14．設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)$a＞0，g（x）=\frac{{{e^2}{f^'}（x）}}{3-x}$，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得$|{f（{ξ_1}）-g（{ξ_2}）}|＜5{e^2}-6$成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)是x=3．我們根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，易得f′（3）=0，進(jìn)而構(gòu)造方程求出a與b的關(guān)系式，分析函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的符號，即可得到答案．
（2）根據(jù)g（x）的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答 解：（1）f′（x）=-e^3-x，（1分）
由f′（3）=0，得-e^3-3=0，即得b=-3-2a，（2分）
則f′（x）=-（x-3）（x+a+1）e^3-x．
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，由于x=3是極值點(diǎn)，∴-a-1≠3，即a≠-4，（4分）
當(dāng)a＜-4時(shí)，x₂＞3=x₁，則在區(qū)間（-∞，3）上，f′（x）＜0，
f（x）為減函數(shù)；在區(qū)間（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在區(qū)間（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　（5分）
當(dāng)a＞-4時(shí)，x₂＜3=x₁，則在區(qū)間（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；在區(qū)間（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
（2）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，
由于f（x）連續(xù)，而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在區(qū)間上的值域是：[-（2a+3）e³，a+6]，
　又g（x）=$\frac{{-e}^{2}（x-3）（x+a+1{）e}^{3-x}}{3-x}$=（x+a+1）e^5-x，（a＞0，x∈[0，4]），
g′（x）=-e^5-x（x+a）＜0，
∴g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，而g（0）=（a+1）e⁵，g（4）=（a+5）e，
∴它在區(qū)間上的值域是：[e（a+5），e⁵（a+1）]，
∴只需e（a+5）-（a+6）＜5e²-6即可，解得：a＜5e，
∴a的范圍是：（0，5e）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知中的函數(shù)的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．