Question

16．如圖，從賓館A到火車站B有A-C-B、A-D-B兩條路線．出租車司機(jī)準(zhǔn)備開車從賓館送某旅客到火車站，若各路段發(fā)生堵車與否是相互獨(dú)立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示（例如A-C-B算作兩個(gè)路段；路段AC發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{10}$，路段CB發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{8}$）．
（1）請你為該出租車司機(jī)選擇一條由A到B的路線，
使得途中發(fā)生堵車事件的概率較小；
（2）若記路線A-C-B中遇到堵車路段的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解，先求解堵車的概率，運(yùn)用對立事件求解，再比較即可．
（2）確定路線A-C-B中遇到堵車路段的個(gè)數(shù)為ξ=0，1，2
運(yùn)用互斥事件，獨(dú)立事件的概率公式求解即可，得出分布列，數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）根據(jù)題意得出：A-C-B堵車的概率為：P₁=1-（1-$\frac{1}{10}$）×（1-$\frac{1}{8}$）=1-$\frac{63}{80}$=$\frac{17}{80}$，
A-D-B堵車的概率為：P₂=1-（1-$\frac{1}{12}$）×（1-$\frac{1}{5}$）=1-$\frac{11}{15}$=$\frac{4}{15}$，
∵$\frac{17}{80}$$-\frac{4}{15}$=$\frac{17×15-4×80}{80×15}$=$\frac{255-320}{80×15}$＜0，
∴$\frac{17}{80}$$＜\frac{4}{15}$，
∴A-C-B堵車的概率小，
（2）∵記路線A-C-B中遇到堵車路段的個(gè)數(shù)為ξ=0，1，2
∴P（ξ=0）=$\frac{63}{80}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{10}$×$\frac{7}{8}$$+\frac{9}{10}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{16}{80}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{10}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{80}$，

ξ	0	1	2
P	$\frac{63}{80}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{80}$

Eξ=0×$\frac{63}{80}$$+1×\frac{1}{5}$$+2×\frac{1}{80}$=$\frac{9}{40}$

點(diǎn)評 本題考察了學(xué)生的識圖能力，運(yùn)用圖形解決問題的能力，離散型的概率分布數(shù)學(xué)期望的求解，考察了計(jì)算分析問題能力．