Question

10．求函數(shù)f（x）=4-2x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 由1-x²≥0，可得-1≤x≤1，設(shè)x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最值．

解答 解：由1-x²≥0，可得-1≤x≤1，
設(shè)x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），
即有y=4-2sin²α+sinαcosα
=3+cos2α+$\frac{1}{2}$sin2α=3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2α+θ）（θ為銳角，tanθ=2）
當(dāng)2α+θ=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最大值3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
當(dāng)2α+θ=-$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最大值3-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用三角換元和二倍角公式、兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．