Question

20．如圖，已知四邊形ABCD中AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP=PC，CD＞AB，則經(jīng)過某種翻折后以下線段可能會相互重合的是（　�。�

• A． AB與AD
• B． AB與BC
• C． BD與BC
• D． AD與AP

Answer 1

分析 設(shè)AB=a，∠CAB=θ，則AP=acosθ，PC=BP=asinθ，AC=a（cosθ+sinθ），AD=ACsinθ=a（cosθ+sinθ）sinθ，CD=ACcosθ=a（cosθ+sinθ）cosθ，因?yàn)镃D＞AB，故cos²θ+sinθcosθ＞1，即$sin（2θ+\frac{π}{4}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{π}{4}＜2θ+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，故$0＜θ＜\frac{π}{4}$．再對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)AB=a，∠CAB=θ，則AP=acosθ，PC=BP=asinθ，AC=a（cosθ+sinθ），AD=ACsinθ=a（cosθ+sinθ）sinθ，CD=ACcosθ=a（cosθ+sinθ）cosθ，
因?yàn)镃D＞AB，故cos²θ+sinθcosθ＞1，
即$sin（2θ+\frac{π}{4}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{π}{4}＜2θ+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，故$0＜θ＜\frac{π}{4}$．
A選項(xiàng)：假設(shè)AB=AD，則有：sin²θ+sinθcosθ=1，即$sin（2θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，無解．
B選項(xiàng)：假設(shè)AB=BC，則有：$\sqrt{2}sinθ=1$，即$sinθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，無解．
C選項(xiàng)：假設(shè)BD=BC，則有：$\sqrt{2}sinθ=\sqrt{1+{{sin}^2}θ{{（sinθ+cosθ）}^2}}$，即1+2sin³θcosθ=sin²θ，無解．
D選項(xiàng)：假設(shè)AD=AP，則有：sin²θ+sinθcosθ=cosθ，令$f（θ）={sin^2}θ+sinθcosθ-cosθ=\frac{1-cos2θ}{2}+\frac{sin2θ}{2}-cosθ$，則f′（θ）=sin2θ+cos2θ+sinθ＞0，又f（0）=-1＜0，$f（\frac{π}{4}）=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＞0$，故必存在θ₀使得：f（θ₀）=0，故AD與AP可能重合．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查圖形的翻折，考查三角函數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．