Question

4．已知集合P={x|$\frac{1}{2}≤x≤2$}，函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域?yàn)镼，若P⊆Q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 P⊆Q，則說明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題即可解決．

解答 由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，
若P⊆Q，則說明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
即不等式a＞$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
令u=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，則只需a＞u_max即可．
又u=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=-2（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$．
當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，2]，從而u∈[-4，$\frac{1}{2}$]，u_max=$\frac{1}{2}$
∴a＞$\frac{1}{2}$
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 對數(shù)函數(shù)的定義域，集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．想辦法分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．