Question

19．求數(shù)列1，1+a，1+a+a²，…，1+a+a²+…+a^n-1，…的前n項(xiàng)和S_n（其中a≠0）．

Answer 1

分析 先通過對(duì)a=1與a≠1的討論分別利用公式法求解數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而即可求出數(shù)列的和．

解答 解：當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=1+a+a²+…+a^n-1=n，
則S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n=$\frac{1}{2}n（n+1）$；
當(dāng)a≠1時(shí)，有a_n=1+a+a²+…+a^n-1=$\frac{1（1-{a}^{n}）}{1-a}=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{a-1}•{a}^{n}$
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•a）+（$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•a²）+…+（$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•aⁿ）
=n×$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$（a+a²+…+aⁿ），
=$\frac{n}{1-a}$+$\frac{1}{a-1}$•$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$
=$\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$．
故當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}n（n+1）$；
當(dāng)a≠1時(shí)，S_n=$\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．