Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+bx+c，x≤0}\end{array}\right.$滿足f（0）=1，且f（0）+2f（-1）=0，求函數(shù)g（x）=f（x）+x的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析 由f（0）=c=1，f（0）+2f（-1）=c+2（-1-b+c）=0可解得c=1，b=$\frac{1}{2}$；從而化簡g（x）=f（x）+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$；再轉(zhuǎn)化為方程的根即可．

解答 解：∵f（0）=c=1，f（0）+2f（-1）=c+2（-1-b+c）=0，
∴c=1，b=$\frac{1}{2}$；
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+\frac{1}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$，
故g（x）=f（x）+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞0}\\{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$；
當(dāng)x＞0時，令2x-2=0得x=1；
當(dāng)x≤0時，令-x²+$\frac{3}{2}$x+1=0得，
x=2（舍去）或x=-$\frac{1}{2}$；
故函數(shù)g（x）=f（x）+x有兩個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的化簡與應(yīng)用，同時考查了二次函數(shù)與二次方程的性質(zhì)應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．